素数的界说很省略丝袜美女，小学生皆懂，但却有很多经典的数学未解之谜皆与它关系。

因此，素数在数论中的地位相配进犯。

面前，一个跟它关系的猜想，就被26岁的牛津大学在读博士生给解释了。

这是匈牙利数学家最早在1930年代提议来的一个对于原始集的问题。

由于小哥用到的皆是已有论点，许精深学家皆被他的灵敏要道惊到了。

具体是什么，总共来看。

（前列一些高能预警。。）

来自1935年的猜想

起始，不知说念原始集（Primitive sets）这个看法环球熟不熟。

它和素数的界说差未几，指的是一组不可彼此被整除的数字的和谐，比如{6，28，496，8128}。

天然，这些数皆要大于1。

由于素数只可被1和它自己整除，那么任何素数组成的和谐就属于一种突出的原始集。

萝莉视频

△ 图源Quanta Magazine

原始集这个看法是由匈牙利数学家Paul Erd?s在1930年代提议的，最早仅仅用于解释发祥于古希腊的无缺数。

天然它的界说很省略，但围绕着它也产生了一些很意旨的属性。

比如你无法详情原始集到底有若干种组合，就比如在1-1000这些数中，占去一半数目的501-1000，拿出其中随性几个数字皆不错组成一个原始集，因为它们皆无法被彼此整除。

不外天然无法详情组合有多大，但Paul Erd?s发现对于任何原始集（包括无尽集），它的“Erd?s和”皆有上界，即小于或等于某个数字。

什么是“Erd?s和”？

等于对和谐中的每个数字n求抒发式1/(n log n)的和，用公式抒发等于这样：

比如和谐{2， 3， 55}，它的“Erd?s和”就等于 1/(2 log 2) + 1/(3 log 3) + 1/(55 log 55)。

前边说到，“Erd?s和”是有界的，但咱们皆没法知说念最大的和谐长什么样，这个界又因何贯通呢？

尽管如斯，1988年，Erd?s照旧给出了一个值，它猜测这个界为某个素数组成的原始集的和，为1.64。

这个猜想也把素数再次推上了“特立独行”的“风口浪尖”（这也等于标题里所说的“一个素数猜想”的具体含义了）。

几十年来，数学家们在解释这个猜想方面只获取了部分发扬。

从大四构兵到这个问题就被迷住了

牛津大学的博士生小哥Jared Duker Lichtman，从2018年开动构兵到这个问题。

那会儿他照旧达特茅斯学院的又名大四本科生。

他回忆称，我方一下子就被这个猜想迷住了：“这样奇怪的猜测奈何会是真的呢，太不可想议了吧？”

于是接下来的四年间，从本科到牛津大学读博，小哥就跟这个猜想“杠”上了。

先解释了不大于1.78

谁能意料，2018年，他和他在达特茅斯学院的导师Carl Pomerance还真先总共侧面解释了原始集的“Erd?s和”不会大于1.78傍边的猜想。

这个猜想是好意思国数学家弗兰兹·梅尔滕斯（Franz Mertens）提议来的。

他们算出这个常数的主义是先写下原始集合每个数字的倍数，然后将每个序列中这些倍数进行阐述，出现了比现时原始数的最大质因数还要小的因数，就要丢掉。

然后将剩余的数字组成一个新和谐。

举个具体例子。

假如原始集为{2， 3， 5}，那么2的最大质因数是2，3的最大质因数是3，5的最大质因数是5。

总共2的倍数全部及格，因为它们皆是2的公倍数，莫得提升2的质因数2；

总共3的倍数中，只有是素数2的公倍数（因为莫得提升质因数3），皆要被扔掉，也等于6、12、18皆不对格；

总共5的倍数中，只有是素数2和3的公倍数(因为莫得提升质因数5)，也要被pass，因此10、15、20、30不对格；

再比如55的倍数中，只有是素数2、3、5、7的公倍数，也要被pass，因为55的最大质因数为11。

△ 图源Quanta Magazine

牛津小哥将这种要道比作字典的索引神气，只不外字典是按字母，这是按素数来组织每个序列。

得到新的和谐后，他和导师又开动算这些倍数序列的“密度”。就拿总共偶数来说，它的序列“密度”等于为1/2，因为总共偶数占总共整数的一半。

然后啊，他们就不雅察到，若是给定的一个和谐是原始集，那么总共倍数序列就不会叠加（overlap），因为他们的组合“密度”最多为1。

（为什么为1，因为整数的序列“密度”等于1。）

有了“密度”，就不错算和谐的“Erd?s和”了，凭证弗兰兹·梅尔滕斯提议的定理，一个省略等于1.78的突出常数乘以和谐倍数的组合“密度”，就不错得出原始集的最大“Erd?s和”。

由于小哥和导师解释和谐的“密度”最大为1，也就从侧面解释了“Erd?s和”的最大值为1.78。

小哥在牛津大学的导师对此称许有加，称小哥和原导师的要道其实是Paul Erd?s领先要道的一种变体，但它更好意思妙，得到了一个“not-tight”和“not-too-bad”的上界。

与此同期，环球合计他们的这个要道似乎照旧是面前最顶尖的数学家才不错作念到的。

再解释1.64

好，得手了一小步，接下来若何智商把范围放松，解释Erd?s给出的1.64呢？

小哥发现，他和前导师的那一套表面对于质因数较小的数字组成的原始集是有用的，不错相比松驰地就解释出来致使比1.64还小的常数。

不外质因数大了就不太行。

左想右想，转瞬到了博士三年事，他发现不错给和谐中的每个数字关联不啻一个倍数序列。

但和之前同样，总共这些序列的组合密度最多为1。

比如对于618这个数字（2 x 3 × 103）来说，按照往常的要道不不错出现比103倍还小的倍数，但面前不错用比103倍还小的倍数组成序列，比如5倍。

（至于5倍照旧几倍，这皆是有一套料理端正决定的。）

接着他又找到了一种更准确地算出这些序列的组合“密度”的要道。

最终，他仔细商酌了原始集的多样情况，在具有最大质因数和最小质因的数字之间找到了一个均衡，将2018年和面前的两部阐述释勉强在总共，最终解释了“Erd?s和”小于1.64。

前后一共花了四年的小哥暗意，得出这个成果不知说念是运说念好碰上了照旧啥，总之作念到了。

详备解释历程照旧被他写成了论文发在了arXiv。

疏忽一番……险些是三行一个公式的情况。感风趣风趣的数学大佬不错去望望。

稀有学家指出，牛津小哥这个解释成确实的太引东说念主翔实了，因为他的要道相配灵敏，统统依赖于已有论点就作念到了。

与此同期，同业还暗意，这一解释沉稳了素数在原始和谐中的突出地位。

One More Thing

ps. 小哥有多利弊，不错从环球的反馈侧面感受到。

就比如有网友通过小哥的个东说念主主页扒到他列出的最近出书物，发现从2018年到面前一共有至少18篇。

才读到博士就有这样多论文，这一数字让环球终点恐慌。

但有东说念主就站出来暗意了：不及为奇，毕竟天才等于天才啊。（手动狗头）

论文地址：https://arxiv.org/abs/2202.02384

参考勾通：[1]https://www.quantamagazine.org/graduate-students-side-project-proves-prime-number-conjecture-20220606/[2]https://news.ycombinator.com/item?id=31640297丝袜美女